Question

18．已知函数f（x）=2x-a，g（x）=xe^x，若对任意x₁∈[0，1]存在x₂∈[-1，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围为[2-e，$\frac{1}{e}$]．

Answer 1

分析 问题转化为函数f（x）的值域是g（x）值域的子集，分别求出f（x）和g（x）的值域，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：若对任意x₁∈[0，1]存在x₂∈[-1，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，
则函数f（x）的值域是g（x）值域的子集，
x∈[0，1]时，f（x）的值域是：[-a，2-a]，
对于g（x）=xe^x，x∈[-1，1]，
g′（x）=e^x（x+1）≥0，
g（x）在[-1，1]递增，
g（x）的值域是[-e^-1，e]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a≥-\frac{1}{e}}\\{2-a≤e}\end{array}\right.$，解得：2-e≤a≤$\frac{1}{e}$，
故答案为：[2-e，$\frac{1}{e}$]．

点评 本题考查子集的概念，考查一次函数的单调性，考查导数的应用，是一道中档题．