Question

已知关于x的不等式

ax2-2

x-1

＜ax的解集为A，且A⊆（-∞，1），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：把原不等式右边移项到左边，通分后，根据两式ax-2与x-1相除商为负数，转化为ax-2与x-1的乘积小于0，当a=0时，把a=0代入化简后的不等式中求出不等式的解集，发现满足A⊆（-∞，1），故a不为0，
然后分四种情况考虑：当a大于2时，判断出

2

a

比1小，利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集A，并判断出A为（-∞，1）的子集；
当a=2时，求出此时不等式的解集，确定出集合A，然后判断A是否为（-∞，1）的子集；
当a大于0小于2时，判断出

2

a

比1大，利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集A，并判断出A为（-∞，1）的子集；
当a小于0时，判断出

2

a

比1小，利用不等式取解集的方法可得出不等式的解集A，并判断出A为（-∞，1）的子集；
综上，得到满足题意的a的取值范围．

解答：解：由

ax2-2

x-1

＜ax得：

ax2-2

x-1

-ax＜0，
即

ax-2

x-1

＜0，
∴（ax-2）（x-1）＜0，
当a=0时，原不等式的解集A={x|x＞1}不是（-∞，1）的子集，故a≠0，
当a≠0时，∵

2

a

-1=

2-a

a

，
分四种情况考虑：
当a＞2时，

2-a

a

＜0，则

2

a

＜1，
此时，不等式的解集A={x|

2

a

＜x＜1}⊆(-∞，1)；
当a=2时，（x-1）²＜0，故A=∅⊆（-∞，1）；
当0＜a＜2时，

2-a

a

＞0，则

2

a

＞1，
此时不等式的解集A={x|1＜x＜

2

a

}不是（-∞，1）的子集；
当a＜0时，

2

a

＜1，此时，不等式的解集A={x|x＜

2

a

或x＞1}不是（-∞，1）的子集，
综上，实数a的取值范围为：[2，+∞）．

点评：此题考查了其他不等式的解法，以及一元二次不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型．