Question

【题目】已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在使得成立。

（1）函数是否属于集合M？请说明理由；

（2）函数M，求a的取值范围；

（3）设函数，证明：函数M。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由M得到方程在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数满足即可得到结论成立．

（1）．理由如下：

假设，

则在定义域内存在，使得成立，

即，

整理得，

∵方程无实数解，

∴假设不成立，

∴．

（2）由题意得，

在定义域内有解，

即在实数集R内有解，

当时，，满足题意；

当时，由，得，

解得且，

综上，

∴实数a的取值范围为．

（3）证明：∵，

∴，

又函数的图象与函数的图象有交点，

设交点的横坐标为a，则，

∴，其中，

∴ 存在使得成立，

∴．