Question

已知函数f（x）=x³+mx+n图象在x=2处的切线方程为9x-y-15=0．
（1）求m和n的值．
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据题意，切点在切线上可得切点坐标为（2，3），利用导数的几何意义，可知f′（2）为切线的斜率k，从而得到两个关于m，n的方程，求解即可得到m和n的值；
（2）根据（1）的结果，得到f（x），求出f′（x），求解f′（x）＜0，即可得到函数y=f（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x³+mx+n图象在x=2处的切线方程为9x-y-15=0，
∴切点的横坐标为x=2，
∵切点在切线上，则9×2-y-15=0，即y=3，
∴切点坐标为（2，3），
∵f（x）=x³+mx+n，
∴f′（x）=3x²+m，
∵函数f（x）=x³+mx+n图象在x=2处的切线方程为9x-y-15=0，
∴f′（2）=9，
∴

f′(2)=9 f(2)=3

，
即

12+m=9 8+2m+n=3

，
解得m=-3和n=1，
∴m和n的值分别为-3和1；
（2）由（1）可知，m=-3和n=1，
∴f（x）=x³-3x+1，
∴f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=3x²-3＜0，解得-1＜x＜1，
∴f（x）的单调递减区间为（-1，1）．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性．导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．属于中档题．