Question

设G是△ABC的重心．
（1）若从△ABC内任取一点P，则点P落在△GBC内的概率是

 

．
（2）若点Q落在△GBC内（不含边界），且

AQ

=λ

AB

+μ

AC

，则λ+μ的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：（1）点P落在△GBC内的概率即为△GBC的面积与△ABC的面积的比值；
（2）由点P是△GBC内一点，则λ+μ≤1，当且仅当点P在线段BC上时，λ+μ最大等于1；
当P和G重合时，λ+μ最小，此时，

AP

 =λ 

AB

+μ

AC

=

1

3

（

AB

+

AC

），λ=μ=

1

3

，λ+μ=

2

3

．

解答： 解：（1）由于G是△ABC的重心，故△GBC的面积为△ABC的面积的

1

3

，
故点P落在△GBC内的概率是

1

3

；
（2）∵点Q是△GBC内一点，则λ+μ＜1，
当Q和G重合时，λ+μ最小，
此时，

AQ

=λ

AB

+μ

AC

=

2

3

×

1

2

（

AB

+

AC

）=

1

3

（

AB

+

AC

），
∴λ=μ=

1

3

，λ+μ=

2

3

．
故

2

3

＜λ+μ＜1，
故答案为：

1

3

；（

2

3

，1）．

点评：本题考查三角形的重心的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题．