Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，短轴长为2

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）从定点M（0，2）任作直线l与椭圆C交于两个不同的点A、B，记线段AB的中点为P，试求点P的轨迹方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件推导出

c a = 1 2 2b=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，再由

2x=x1+x2= -16k 3+4k2 y=kx+2

，能求出点P的轨迹方程．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

1

2

，短轴长为2

3

，
∴

c a = 1 2 2b=2 3 a2=b2+c2

，解得a=2，b=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直线l与x轴垂直，则P（0，0）；
若直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=kx+2，k≠0．
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+2

，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，…①
则

2x=x1+x2= -16k 3+4k2 y=kx+2

，将其消去k，得

3x2

4

+(y-1)2=1，
由①中△=（-16k）²-16（3+4k²）＞0，解得k2＞

1

4

，
则x=

-8k

3+4k2

=

-8

4k+ 3 k

∈[-

2 3

3

，0）∪（0，

2 3

3

]，y=

-8k2

3+4k2

+2=

6

3+4k2

∈（0，

3

2

）．
综上，所求点P的轨迹方程为

3x2

4

+(y-1)2=1．y∈[0，

3

2

）．

点评：本题考查椭圆的方程的求法，考查点的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．