Question

某校共有400名高一学生，期中考试之后，为了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出c名学生的数学期中成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：（低于20分0人）

组号	第一组	第二组	第三组	第四组	第五组	第六组	第七组	第八组	合计
分组	[20，30）	[30，40）	[40，50）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100）
频数	2	2	4	6	15	a	14	3	c
频率	0.04	0.04	0.08	b	0.3	0.08	0.28	0.06	1

（Ⅰ）求a，b，c的值，并估计该校本次考试的数学平均分；
（Ⅱ）教导处为了解数学成绩在60分以下的学生在学习数学时存在的问题，现决定从前四组中，利用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取两人谈话，求这两人都来自同一组的概率．

Answer 1

考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率,分层抽样方法

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）根据频率分布表的定义和性质，设样本容量为n，则由

2

n

=0.04，求得n=50，同理求得a、b、c的值．再把每一组数据乘以对应的频率，即可估计该校本次考试的数学平均分．
（Ⅱ）显然第一组抽取1人，第二组抽取1人，第三组抽取2人，第四组抽取3人．所有的抽法共有

C

2 7

=21种，而抽取的这2人来自同一个组的抽法有

C

2 2

+

C

2 3

=4种，由此求得这两人都来自同一组的概率．

解答： 解：（Ⅰ）设样本容量为n，则由题意可得

2

n

=0.04，解得 n=50．
由

a

50

=0.08，解得a=4； b=

6

50

=0.12；c即样本容量，为50．
估计该校本次考试的数学平均分为25×0.04+35×0.04+45×0.08+55×0.12+65×0.3+75×0.08
+85×0.28+95×0.06=70.6．
（Ⅱ）前4组共有14人，利用分层抽样抽取7人，显然第一组抽取1人，第二组抽取1人，
第三组抽取2人，第四组抽取3人．
从这7人中在任意抽取2人，所有的抽法共有

C

2 7

=21种，
而抽取的这2人来自同一个组的抽法有

C

2 2

+

C

2 3

=4种，
故这两人都来自同一组的概率为

4

21

．

点评：本题主要考查频率分步表的应用，分层抽样、古典概率及其计算公式，属于基础题．