Question

已知双曲线C：x2-

y2

2

=1，过点P（-1，-2）的直线交C于A，B两点，且点P为线段AB的中点．
（1）求直线AB的方程；
（2）求弦长|AB|的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）可先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），再分别代入双曲线方程，作差即可求出直线斜率，进而可求直线方程．
（2）把（1）中所求直线方程代入双曲线方程，利用根与系数关系，求x₁，x₂，再利用弦长公式求线段AB的长．

解答： 解（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-2，y₁+y₂=-4，
由x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1作差得（x₁+x₂）（x₁-x₂）-

1

2

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=1，
∴直线AB方程为y=x-1．
（2）把y=x-1代入x2-

y2

2

=1，消去y得x²+2x-3=0
∴x₁=1，x₂=-3，从而得|AB|=

1+1

•|x₁-x₂|=4

2

．

点评：本题考查点差法求中点弦方程以及弦长公式求弦长，考查学生的计算能力，属于中档题．