Question

已知动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为

2

2

．
（1）求P的轨迹C的方程；
（2）是否存在过点A（1，0）的直线l交轨迹C于点M和N使得△MON的面积为

3

2

（O为坐标原点），若存在，求l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），由已知条件推导出

(x-1)2+y2

(x-2)2+y2

=

2

2

，由此能求出P点的轨迹方程．
（2）假设满足条件的直线l存在．设过点A（1，0）的直线l为kx-y-k=0，求出圆心（0，0）到直线的距离d，再由S=

1

2

|MN|d=

2-d2

•d=

3

2

，能求出直线l的方程．

解答： 解：（1）设P（x，y），∵动点P到两定点A（1，0），B（2，0）的距离的比为

2

2

，
∴

(x-1)2+y2

(x-2)2+y2

=

2

2

，
整理，得x²+y²=2，
P点的轨迹方程是x²+y²=2．
（2）假设满足条件的直线l存在．
设过点A（1，0）的直线l：y=k（x-1），即kx-y-k=0，
圆心（0，0）到直线的距离d=

|-k|

k2+1

=

|k|

k2+1

，
S=

1

2

|MN|d=

2-d2

•d=

3

2

，
解是d=

6

2

或d=

2

2

，
d=

6

2

时，k无解；d=

2

2

时，k=1，或k=-1，
∴直线l的方程为y=x-1，或y=-（x-1）=-x+1
k不存在时，x=1，S=1，舍去．
∴直线l的方程为：y=x-1或y=-x+1．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．