Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁、F₂，点P为椭圆上动点，弦PA、PB分别过点F₁、F₂，设向量

PF1

=λ₁

F1A

，

PF2

=λ₂

F2B

，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件推导出|F₁A|=

|PF1|

λ1

，|F₂B|=

|PF2|

λ2

，对于椭圆，设CG为左准线，PC、F₁E、AG分别于CG垂直，由此推导出λ₁=

2|PF1|

a-ec

-1，λ₂=

2|PF2|

a-ec

-1，由此能够证明λ₁+λ₂为定值．

解答： 证明：∵

PF1

与

F1A

同向，

PF2

与

F2B

同向，

PF1

=λ₁

F1A

，

PF2

=λ₂

F2B

，
∴λ₁=

PF1

F1A

＞0，λ2 =

PF2

F2B

＞0，
∴|F₁A|=

|PF1|

λ1

，|F₂B|=

|PF2|

λ2

，
如图，对于椭圆，设CG为左准线，PC、F₁E、AG分别于CG垂直，
e=

c

a

=

|PF1|

|PC|

=

|F1A|

|AG|

，
∴|PC|=

|PF1|

e

，|AG|=

|F1A|

e

，
又|EF₁|=

a2

c

-c=

a

e

-c为定值，
对梯形PCGA用相似三角形关系，有如下关系：
λ1 =

|PF1 |

|F1A|

=

|PC|-|EF1|

|EF1 |-|AG|

=

|PF1| e -( a2 c -c)

( a2 c -c)- |F1A| e

=

|PF1| e -( a e -c)

( a e -c)- |PF1| eλ1

，
整理得(

a

e

-c)λ1=

2|PF1|

e

-(

a

c

-c)，
∴λ₁=

2|PF1|

a-ec

-1，①
同理，对梯形PDHB有λ₂=

2|PF2|

a-ec

-1，②
①+②，得：λ₁+λ₂=

2(|PF1|+|PF2|)

a-ec

-2，
对于椭圆上点P，由定义有|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴λ₁+λ₂=

2•2a

a-ec

-2=

2(a+ec)

a-ec

=

2(1+e2)

1-e2

为定值．

点评：本题考查两数和为定值的证明，计算量大，比较繁琐，要求熟练掌握椭圆的简单性质，解题时要认真审题，细心运算，避免出现计算上的低级错误．