Question

14．已知函数f（x）=cosx+$\frac{a}{2}$x²-1（a∈R）．
（1）证明：当a≥1时，f（x）有唯一的零点；
（2）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，构造辅助函数g（x）=f′（x）=-sinx+ax，则g′（x）=-cosx+a，当a≥1时，可知g（x）在R上单调递增，g（0）=0，即可判断f（x）在[0，+∞）上为增函数，在（-∞，0）上为减函数，由f（x）=0，即可证明，当a≥1时，f（x）有唯一的零点；
（2）分类，当a≤0时，由函数的单调性可知f（$\frac{π}{2}$）＜0，不满足f（x）≥0；当0＜a＜1，设h（x）=f′（x）=-sinx+ax，根据余弦函数性质可知存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx₀=a，且h（x）=-sinx+ax在[0，x₀）上为减函数，f（x）在[0，x₀）为减函数，故当x∈（0，x₀）时，f（x）＜f（0）=0，不符合题意，由（1）可知：当a≥1时，f（x）≥0，因此，若f（x）≥0，实数a的取值范围[1，+∞）．

解答 解：（1）证明：因为f′（x）=-sinx+ax（x∈R）．
令g（x）=-sinx+ax，则g′（x）=-cosx+a，
所以当a≥1时，g′（x）=-cosx+a≥0，即g（x）在R上单调递增，
又g（0）=-sin0=0，
所以x∈[0，+∞），f′（x）≥0，当x∈（-∞，0），f′（x）＜0，
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，在（-∞，0）上为减函数，
又f（0）=0，所以当x∈[0，+∞），f（x）≥0，
当x∈（-∞，0），对x∈R恒成立，即当a≥1时，f（x）≥0，
且当且仅当x=0，f（x）=0，
故当a≥1时，f（x）有唯一的零点；
（2）①当a≤0时，
∵f（$\frac{π}{2}$）=$\frac{a}{2}$•（$\frac{π}{2}$）²-1≤-1＜0，
所以当a≤0，不符合题意；
②当0＜a＜1时，
因为f′（x）=-sinx+ax，设h（x）=-sinx+ax，x∈（0，π），
h′（x）=-cosx+a，
因为a∈（0，1），所以存在x₀∈（0，$\frac{π}{2}$），使得cosx₀=a，
因为cosx在（0，π）上为单调递减，所以当x∈[0，x₀），h′（x）＜0，
h（x）=-sinx+ax在[0，x₀）上为减函数，
即f′（x）=h（x）≤h（0）=0，
所以f（x）在[0，x₀）为减函数，故当x∈（0，x₀）时，f（x）＜f（0）=0，
故当0＜a＜1不符合题意，
③当a≥1时，由（1）知，f（x）≥0，
综上，若f（x）≥0，实数a的取值范围[1，+∞）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题、三角函数等知识，考查分类讨论思想，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，难度较大，属于难题．