Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中b_n＞0（n∈N*），且b₁+b₂+b₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式a_n+1=2S_n+1构造出a_n=2S_n-1+1两者作差得出a_n+1=3a_n，此处是的难点，数列的{b_n}的求解根据题意列出方程求d，即可，
（II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）（2分）
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）（4分）
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，
∴b₂=5．
又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）
解得d=-10，或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ②（10分）
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ（12分）
=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2×

3-3n

1-3

-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n•3n，
∴T_n=n•3ⁿ（14分）

点评：本题技巧性较强，是数列中的一道难度较高的题，对答题者基础知识与基本技能要求较高，是用来提高学生数列素养的一道好题