Question

（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M(2,1)，平行于OM的直线在轴上的截距为，交椭圆于A、B两个不同点.
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.

Answer 1

（1）（2）（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，证明k₁＋k₂=0即可.

试题分析：（1）设椭圆方程为，
,则，∴椭圆方程.
（2）∵直线l平行于OM，且在轴上的截距为m,又 ,
∴l的方程为：,
由,
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
     
∴m的取值范围是
（3）设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，只需证明k₁＋k₂=0即可
设
 可得
而

,
∴k₁＋k₂=0,故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系的综合问题．考查了学生转化和化归思想的运用，统筹运算的能力．