Question

有一动圆P恒过定点F（a，0），a＞0且与y轴相交于A，B两点，若△ABP为正三角形，则P的轨迹为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设圆心坐标（b，c），半径R，可得圆的方程，利用△ABP为正三角形，确定3（a-b）²+3c²=4b²，即可得出P的轨迹．

解答： 解：设圆心坐标（b，c），半径R，则圆的方程：（x-b）²+（y-c）²=R²
令y=0，则x=a，代入得：（a-b）²+c²=R²（*）
令x=0，得b²+（y-c）²=R²，解得y₁=c+

R2-b2

，y₂=c-

R2-b2

，
由题知，AB=R，即|y₁-y₂|=R，
∴2

R2-b2

=R，化简得3R²=4b²
将（*）式代入，消去R得：3（a-b）²+3c²=4b²
将b换成x，c换成y，并化简得：（x+3a）²-3y²=12a²
即P的轨迹为：（x+3a）²-3y²=12a²，是一个双曲线．
故答案为：双曲线．

点评：本题考查P的轨迹，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．