Question

省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f（x）与时刻x（时）的关系为f（x）=|g（x）-a|+2a+

2

3

，x∈[0，24]，其中g（x）=

1 2 sin( π 4 x)，x∈[0，2] 1 x ，x∈(2，24]

，a是与气象有关的参数，且a∈[0，

1

2

]，若用每天f（x）的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M（a）．
（1）令t=g（x），求t的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,应用题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由正弦函数的图象和性质和幂函数的单调性，即可得到t的范围；
（2）当a∈[0，

1

2

]时，记g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，则g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

，运用一次函数的单调性，可得最大值和最小值，作差即可得到M（a），当且仅当a≤

4

9

 时，M（a）≤2，即可判断．

解答： 解　（1）当0≤x≤2时，y=

1

2

sin

πx

4

∈[0，

1

2

]，
当2＜x≤24时，y=

1

x

∈[

1

24

，

1

2

），
则当0＜x≤24时，t的取值范围是[0，

1

2

]；
（2）当a∈[0，

1

2

]时，记g（t）=|t-a|+2a+

2

3

，
则g（t）=

-t+3a+ 2 3 ，0≤t≤a t+a+ 2 3 ，a＜t≤ 1 2

，
∵g（t）在[0，a]上单调递减，在（a，

1

2

]上单调递增，
且g（0）=3a+

2

3

，g（

1

2

）=a+

7

6

，g（0）-g（

1

2

）=2 （a-

1

4

）．
故M（a）=

g( 1 2 )，0≤a≤ 1 4 g(0)， 1 4 ＜a≤ 1 2

=

a+ 7 6 ，0≤a≤ 1 4 3a+ 2 3 ， 1 4 ＜a≤ 1 2

，
∴当且仅当a≤

4

9

 时，M（a）≤2．
故当0≤a≤

4

9

 时不超标，当

4

9

＜a≤

1

2

 时超标．

点评：本题考查分段函数的运用，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．