Question

19．函数f（x）=1+$\frac{sinx}{2+cosx}$的最大值与最小值之和为2．

Answer 1

分析 把已知等式变形，利用辅助角公式化积，然后利用三角函数的有界性转化为关于y的不等式求解．

解答 解：由y=f（x）=1+$\frac{sinx}{2+cosx}$，得sinx-（y-1）cosx=2（y-1），
∴$\sqrt{1+（y-1）^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}sinx-\frac{y-1}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}cosx）=2（y-1）$，
即sin（x-θ）=$\frac{2（y-1）}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}$（tanθ=y-1），
由|$\frac{2（y-1）}{\sqrt{1+（y-1）^{2}}}$|≤1，得3y²-6y+2≤0，解得：$\frac{3-\sqrt{3}}{3}≤y≤\frac{3+\sqrt{3}}{3}$．
∴函数f（x）=1+$\frac{sinx}{2+cosx}$的最大值与最小值分别为$\frac{3+\sqrt{3}}{3}，\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，和为2．
故答案为：2．

点评 本题考查三角函数的最值的求法，训练了利用三角函数的有界性求函数的最值，是中档题．