Question

5．已知双曲线Γ：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的离心率e=$\sqrt{3}$，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为$\sqrt{3}$-1．
（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；
（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和当P为右顶点时，可得PF取得最小值，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），代入双曲线的方程两式相减，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，由点斜式方程可得直线l的方程，代入双曲线的方程，运用判别式检验即可判断存在性．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$，
当P为右顶点时，可得PF取得最小值，
即有c-a=$\sqrt{3}$-1，
解得a=1，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，
且点P是线段RT的中点．
设R（x₁，y₁），T（x₂，y₂），可得x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，x₂²-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
两式相减可得（x₁-x₂）（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}$（y₁-y₂）（y₁+y₂），
由中点坐标公式可得x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
可得直线l的斜率为k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2，
即有直线l的方程为y-1=2（x-1），即为y=2x-1，
代入双曲线的方程，可得2x²-4x+3=0，
由判别式为16-4×2×3=-8＜0，
可得二次方程无实数解．
故这样的直线l不存在．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和双曲线的性质，考查直线的存在性问题的解法，注意运用点差法和中点坐标公式、直线的斜率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．