Question

17．过直线l：x+y=2上任意点P向圆C：x²+y²=1作两条切线，切点分别为A，B，线段AB的中点为Q，则点Q到直线l的距离的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设P（t，2-t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得．

解答 解：∵点P为直线l：x+y=2上的任意一点，∴可设P（t，2-t），
则过O、A、P、B的圆的方程为（x-$\frac{t}{2}$）²+（y-$\frac{2-t}{2}$）²=$\frac{1}{4}$[t²+（2-t）²]，
化简可得x²-tx+y²-（2-t）y=0，
与已知圆的方程相减可得AB的方程为tx+（2-t）y=1，
由直线OP的方程为（2-t）x-ty=0，
联立两直线方程可解得x=$\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}$，y=$\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}$，
故线段AB的中点Q（$\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}$，$\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}$），
∴点Q到直线l的距离d=$\frac{|\frac{t}{2{t}^{2}-4t+4}+\frac{2-t}{2{t}^{2}-4t+4}-2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$|，
∵t²-2t+2=（t-1）²+1≥1，∴0＜$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$≤1，
∴-1≤-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$＜0，∴1≤2-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$＜2，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$|2-$\frac{1}{{t}^{2}-2t+2}$|＜$\sqrt{2}$，即d∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题．