Question

13．在△ABC中，tanA+tanC=3tanB，则tanB的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． [1，+∞）
• C． [$\frac{4}{3}$，+∞）
• D． [1，$\frac{4}{3}$]

Answer 1

分析 把已知等式中tanB转化为tan（A+C），展开两角和的正切，求得tanAtanC=4，然后利用基本不等式求得tanB的取值范围．

解答 解：由tanA+tanC=3tanB，得
tanA+tanC=-3tan（A+C）=$-3•\frac{tanA+tanC}{1-tanAtanC}$，
∵tanA+tanC≠0，
∴1-tanAtanC=-3，得tanAtanC=4，
∴tanA＞0，tanC＞0，
则tanB=$\frac{tanA+tanC}{3}$$≥\frac{2\sqrt{tanA•tanC}}{3}=\frac{2\sqrt{4}}{3}=\frac{4}{3}$．
当且仅当tanA=tanC=2时上式等号成立．
∴tanB的取值范围是[$\frac{4}{3}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查两角和与差的正切，考查了利用基本不等式求最值，属中档题．