Question

18．已知函数y=f（x）满足f（2x）=2f（x），当1≤x≤2时，f（x）=$\frac{1}{2}$-|x-$\frac{3}{2}$|，当x∈[1，2ⁿ]，n∈N^*时，函数y=f（x）的图象与x轴所围成的图形面积记为S_n，则S₁=$\frac{1}{4}$，S_n=$\frac{1}{12}$（4ⁿ-1）．

Answer 1

分析 结合函数的性质作函数y=f（x）的部分图象，将[1，2ⁿ]分割成[1，2]，[2，4]，[4，8]，[8，16]，…，[2^n-1，2ⁿ]个部分，从而可得各部分的面积，从而求和即可．

解答 解：∵f（2x）=2f（x），当1≤x≤2时，f（x）=$\frac{1}{2}$-|x-$\frac{3}{2}$|，
∴作函数y=f（x）的部分图象如下图，
，
将[1，2ⁿ]分割成[1，2]，[2，4]，[4，8]，[8，16]，…，[2^n-1，2ⁿ]个部分，
设在各区间内的面积依次为a₁，a₂，a₃，…，a_n；
则结合图象可得，a₁=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，a_n=4a_n-1，
故S₁=a₁=$\frac{1}{4}$，S_n=$\frac{\frac{1}{4}（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{1}{12}$（4ⁿ-1），
故答案为：$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{12}$（4ⁿ-1）．

点评 本题考查了分段函数与绝对值函数的应用及转化思想与分类讨论及数形结合的思想应用，同时考查了数列的应用，属于中档题．