Question

4．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F₁、F₂，上顶点A，离心率为$\frac{1}{2}$，点P为第一象限内椭圆上的一点，若S${\;}_{△P{F}_{1}A}$=4S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$，则直线PF₁的斜率为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{9}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

Answer 1

分析 通过椭圆离心率可知$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，进而可知设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$）、直线PF₁与y轴交于点Q，利用两点式写出直线PF₁的方程并令x=0可知点Q的坐标，利用三角形面积公式及其关系即得结论．

解答 解：∵椭圆离心率为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{4}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，即$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴F₁（-$\frac{1}{2}$a，0），F₂（$\frac{1}{2}$a，0），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$），记直线PF₁与y轴交于点Q，
∵直线PF₁的方程为：$\frac{y}{x+\frac{1}{2}a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$，
令x=0，可知y=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$，
∴AQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{a\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a（2-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$），
∵S${\;}_{△P{F}_{1}A}$=4S${\;}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$a（2-$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$）（$\frac{1}{2}$a+m）=4a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}$，
整理得：$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$=$\frac{2}{9}$，
∴直线PF₁的斜率为$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}•\sqrt{{a}^{2}-{m}^{2}}}{m+\frac{1}{2}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2}{9}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$，
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查运算求解能力，对面积的分割是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．