Question

19．过椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）上一点M作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，且点A，B关于原点对称，设MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，k₁•k₂=-$\frac{2}{3}$，又椭圆的一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过椭圆的右焦点F₂，且绕F₂旋转，l与椭圆C相交于P，Q两点，求△F₁PQ的面积的最大值（F₁为椭圆C的左焦点）．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的知识易得c=1，设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则由对称性可得B（-x₁，-y₁），由点差法可得$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，再由k₁•k₂=-$\frac{2}{3}$和斜率公式可得$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，进而可$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，再由c=1可得a²-b²=1，联立可得解得a²和b²，可得椭圆C的方程；
（2）设l与椭圆C相交于P（x₂，y₂），Q（x₃，y₃）两点，△F₁PQ的面积S=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×|y₂-y₃|=|y₂-y₃|，结合图象可知当直线l与x轴垂直时|y₂-y₃|取最大值，解点的坐标可得．

解答 解：（1）∵抛物线y²=4x的焦点为（1，0），∴c=1，
设M（x₀，y₀），A（x₁，y₁），则由对称性可得B（-x₁，-y₁），
由点在椭圆上可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
两式相减可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{b}^{2}}$=0，即$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，
又k₁•k₂=-$\frac{2}{3}$，∴$\frac{{y}_{0}-{y}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{0}+{y}_{1}}{{x}_{0}+{x}_{1}}$=-$\frac{2}{3}$，即$\frac{{{y}_{0}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
故-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{2}{3}$，即$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，由c=1可得a²-b²=1，
联立解得a²=3，b²=2，∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）由（1）可得F₁（-1，0），F₂（1，0），
设l与椭圆C相交于P（x₂，y₂），Q（x₃，y₃）两点
∴△F₁PQ的面积S=$\frac{1}{2}$×|F₁F₂|×|y₂-y₃|=|y₂-y₃|，
结合图象可知当直线l与x轴垂直时|y₂-y₃|取最大值，
联立$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1与x=1可解得y=±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴所求面积的最大值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，舍而不求的整体思想以及数形结合是解决问题的关键，属中档题．