Question

14．已知数列{a_n}前n项和为S_n，首项为a₁，且$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列．可得2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，再利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质可得：b_n=（2n-1）（2n+1），$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$，a_n，S_n成等差数列．∴2a_n=S_n+$\frac{1}{2}$，
∴当n=1时，2a₁=a₁+$\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$．
当n≥2时，2a_n-1=S_n-1+$\frac{1}{2}$，∴2a_n-2a_n-1=a_n，化为a_n=2a_n-1．
∴数列{a_n}是等比数列，公比为2．
∴a_n=$\frac{1}{2}×{2}^{n-1}$=2^n-2．
（2）b_n=（log₂a_2n+1）×（log₂a_2n+3）=（2n-1）（2n+1），
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式、对数的运算性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．