Question

6．已知$\overrightarrow{a}$=（sinx，sin2x+1），$\overrightarrow{b}$=（2sinx，1），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积的坐标表示，求出f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2sin²x+sin2x+1，利用二倍角公式化简求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，由T=$\frac{2π}{ω}$可求函数f（x）的最小正周期；
（2）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求得2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，写出$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）的取值范围，求出y的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$=2sin²x+sin2x+1=sin2x-（1-2sin²x）+2=sin2x-cos2x+2
=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+2，
函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=π，
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]，2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴-1≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
∴1≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$+2，
函数f（x）的值域[1，$\sqrt{2}$+2]．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示及三角恒等变换，求三角函数的周期和值域，属于中档题．