Question

18．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且$\sqrt{3}$c=2asinC．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理得出sinA，sinC的关系，代入条件式得出sinA的值；
（II）根据面积可得bc=6，代入余弦定理可求出b+c．

解答 解：（I）在锐角△ABC中，∵$\sqrt{3}c=2asinC$，∴$\frac{a}{c}=\frac{\sqrt{3}}{2sinC}$，
又∵$\frac{a}{c}=\frac{sinA}{sinC}$，∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵△是锐角三角形，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵$S=\frac{1}{2}bcsinA$=$\frac{\sqrt{3}}{4}bc$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴bc=6．
由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-2bc-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-12-7}{12}$=$\frac{1}{2}$，
解得b+c=5．
∴△ABC的周长为$a+b+c=\sqrt{7}+5$．

点评 本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．