Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；
（2）求sinB+sinC的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：△ABC中，由已知，根据正弦定理得2a2=（2b+c）b+（2c+b）c，即 a2=b2+c2+bc． 由余弦定理得

a2=b2+c2﹣2bccosA，故 cosA=﹣ ，∴A=120°

（2）解：由（1）得：sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）= cosB+ sinB=sin（B+60°）．

因为 0°＜B＜60°，所以，60°＜B+60°＜120，∴ ＜sin（B+60°）≤1，

故 sinB+sinC的取值范围是 （ ，1]

【解析】（1）△ABC中，由已知，根据正弦定理得 a2=b2+c2+bc，再由余弦定理求得cosA=﹣ ，A=120°．（2）由（Ⅰ）得：sinB+sinC=sin（B+60°），根据60°＜B+60°＜120，求得 ＜sin（B+60°）≤1，从而求得sinB+sinC的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解两角和与差的正弦公式的相关知识，掌握两角和与差的正弦公式：，以及对余弦定理的定义的理解，了解余弦定理:;;．