Question

【题目】若函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+a+1对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，则实数x的取值范围是（ ）
A.（1，2）
B.（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C.（0，1）
D.（﹣∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：函数可整理为f（x）=（x2﹣x+1）a+1﹣x
∵对于a∈[﹣1，1]时恒有f（x）＜0，
∴（x2﹣x+1）a+1﹣x＜0恒成立．
令g（a）=（x2﹣2x+1）a+1﹣x
则函数g（a）在区间[﹣1，1]上的最大值小于0，
∵g（a）为一次函数，且一次项系数x2﹣2x+1＞0，
∴函数g（a）在区间[﹣1，1]上单调递增，
∴g（a）max=g（1）=x2﹣2x+1+1﹣x=x2﹣3x+2＜0
解得1＜x＜2
故选：A
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．