Question

（本题满分16分）已知在棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形的中心，点分别在直线和上．

 

（1）若分别为棱，的中点，求直线与所成角的余弦值；

（2）若直线与直线垂直相交，求此时线段的长；

（3）在（2）的条件下，求直线与所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）

【解析】（1）以D为空间直角坐标系的原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，……3分

设与所成的角为，

则

直线与所成角的余弦值为．……………………………………… 5分

  （2）设点，则=，=，=，

       即 

……⑴……………………………………………………………………8分

设直线与直线确定平面，其法向量=，

即，令，得=

设直线与直线确定平面，其法向量=，

即，令，得=

与直线相交，∥  =，……………⑵…………11分

由⑴ ⑵联立方程组    解得，，

，… 13分

（本小问也可落实三条直线共面的条件得到点坐标）

（3）由（2）得=，平面的法向量=，=

直线与所确定的平面与平面所成的锐二面角的余弦值为

……………………………………………………………………………………… 16分