Question

13．四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCDD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°，M是CD上的点，Q点是PC上的点，平面BMQ∥平面PAD．
（1）求$\frac{QM}{PD}$；
（2）求直线BC与平面PCD所成角．

Answer 1

分析 （1）推导出四边形ABMD是平行四边形，从而M是CD中点，由此能求出$\frac{QM}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BC与平面PCD所成．

解答 解：（1）∵PA⊥底面ABCDD，且PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD，AB∥CD，∠ADC=90°，
M是CD上的点，Q点是PC上的点，平面BMQ∥平面PAD，
∴BM∥AD，∴四边形ABMD是平行四边形，
∴AB=DM，∴M是CD中点，
∴MQ∥PD，∴$\frac{QM}{PD}$=$\frac{1}{2}$．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PA=AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，
则P（0，0，1），B（1，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），
$\overrightarrow{BC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，1，-1），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=2x+y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=y-z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设直线BC与平面PCD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，θ=30°，
∴直线BC与平面PCD所成角为30°．

点评 本题考查线段比值的求法，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．