Question

18．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BB₁，DD₁的中点．
（ I）证明：平面AED∥平面B₁FC₁；
（ II）在AE上求一点M，使得A₁M⊥平面DAE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以点A为原点，以AB、AD、AA₁为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
求出平面AED和平面B₁FC₁的法向量，利用向量共线证明两平面平行；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AE}$，利用A₁M⊥平面DAE，得出$\overrightarrow{{A}_{1}M}$⊥$\overrightarrow{AE}$，由数量积为0求出λ的值即可．

解答 解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
不妨设正方体的棱长为2，
则A（0，0，0），E（2，0，1），D（0，2，0），
F（0，2，1），B₁（2，0，2），C₁（2，2，2）；
设平面AED的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{{2y}_{1}=0}\\{{2x}_{1}{+z}_{1}=0}\end{array}\right.$
令x₁=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，0，2），
同理可得平面B₁FC₁的法向量$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（1，0，2）；
∴平面AED∥平面B₁FC₁；
（Ⅱ）由于点M在AE上，∴可设$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{AE}$=λ（2，0，1）=（2λ，0，λ），
可得M（2λ，0，λ），
于是$\overrightarrow{{A}_{1}M}$=（2λ，0，λ-2）；
要使A₁M⊥平面DAE，需A₁M⊥AE，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}M}$•$\overrightarrow{AE}$=（2λ，0，λ-2）•（2，0，1）=5λ-2=0，
解得λ=$\frac{2}{5}$；
故当AM=$\frac{2}{5}$AE时，A₁M⊥平面DAE．

点评 本题考查了空间中的平行于垂直关系的应用问题，解题时利用空间向量进行解答，是综合性题目．