Question

1．已知函数f（x）=$\frac{x+a}{x-3}$的图象过点（0，-1）．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）=m+$\frac{n}{x-3}$（m，n是常数），求实数m，n的值；
（3）用定义法证明：函数f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

分析 （1）、由函数图象过点（0，-1），可得-1=$\frac{0+a}{0-3}$，解可得a的值；
（2）、由（1）可得a的值，代入可得f（x）=$\frac{x+3}{x-3}$=$\frac{（x-3）+6}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，结合题意，可得m+$\frac{n}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，比较分析可得m、n的值；
（3）、由（2）可得函数的解析式为f（x）=1+$\frac{6}{x-3}$，设x₁＞x₂＞3，用作差法可得f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{6}{{x}_{1}-3}$）-（1+$\frac{6}{{x}_{2}-3}$）=$\frac{6}{{x}_{1}-3}$-$\frac{6}{{x}_{2}-3}$=$\frac{6（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$，分析（x₁-3）、（x₂-3）和（x₂-x₁）的符号，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，由函数单调性的定义可得证明．

解答 解：（1）根据题意，已知函数f（x）=$\frac{x+a}{x-3}$的图象过点（0，-1），
则有-1=$\frac{0+a}{0-3}$，解可得a=3，
（2）由（1）可得，a=3，则f（x）=$\frac{x+3}{x-3}$=$\frac{（x-3）+6}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，
若f（x）=m+$\frac{n}{x-3}$，
即m+$\frac{n}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，
则必有m=1，n=6；
（3）证明：由（2）可得，f（x）=1+$\frac{6}{x-3}$，
设x₁＞x₂＞3，
则f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{6}{{x}_{1}-3}$）-（1+$\frac{6}{{x}_{2}-3}$）=$\frac{6}{{x}_{1}-3}$-$\frac{6}{{x}_{2}-3}$=$\frac{6（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$，
又由x₁＞x₂＞3，则（x₁-3）＞0，（x₂-3）＞0，（x₂-x₁）＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函数f（x）在（3，+∞）上是单调减函数．

点评 本题考查函数单调性的证明，涉及函数的解析式的求法，关键是求出a的值．