Question

11．（1）求函数f（x）=sin²x+cosx+1，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．
（2）求函数$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定义域和单调区间．

Answer 1

分析 （1）化简f（x）为cosx的二次函数，用换元法令t=cosx，从而求出f（x）的值域；
（2）根据正切函数的定义域和单调性，即可求出函数$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定义域和单调增区间．

解答 解：（1）f（x）=1-cos²x+cosx+1
=-cos²x+cosx+2，
令t=cosx，则t∈[0，1]，
则 y=-t²+t+2，t∈[0，1]；
所以当t=0或1时，y_min=2；
当$t=\frac{1}{2}$时，${y_{max}}=\frac{9}{4}$；
所以f（x）的值域是$[2，\frac{9}{4}]$；
（2）∵函数$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
令$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≠\frac{π}{2}+kπ$，
解得$x≠\frac{π}{3}+2kπ，k∈z$；
所以$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定义域为$\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{3}+2kπ，k∈z}\right\}$；
令$t=\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$，
由y=tant在$（{-\frac{π}{2}+kπ，\frac{π}{2}+kπ}）$，k∈Z内单调递增，
令-$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{3}$+2kπ＜x＜$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
所以$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$在（-$\frac{5π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ），k∈Z上单调递增．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了求复合函数的值域问题，是基础题目．