Question

16．在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变．
（1）求矩阵A及A^-1；
（2）求圆x²+y²=4在矩阵A^-1的变换下得到的曲线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求出A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，再求出△=|A|=3，由此能求出A^-1．
（2）由$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{x}^{'}}\\{{y}^{'}}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=\frac{1}{3}x}\\{{y}^{'}=y}\end{array}\right.$，由此能求出圆x²+y²=4在矩阵A^-1的变换下得到的曲线方程．

解答 解：（1）∵在矩阵A的变换下，坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，
∴A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，
∵△=|A|=3，∴A^-1=$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$．
（2）由$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{{x}^{'}}\\{{y}^{'}}\end{array}]$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{'}=\frac{1}{3}x}\\{{y}^{'}=y}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3{x}^{'}}\\{y={y}^{'}}\end{array}\right.$，
代入x²+y²=4，得9x^'2+y^'2=4，
∴圆x²+y²=4在矩阵A^-1的变换下得到的曲线方程为9x²+y²=4．

点评 本题考查逆矩阵的求法，考查圆的方程在矩阵A^-1的变换下得到的曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意矩阵变换的性质的合理运用．