Question

6．已知向量$\vec a=（{1，2-x}）$，$\vec b=（{1+x，2}）$．
（1）若$\vec a∥\vec b$，求x的值；
（2）当x∈[0，2]时，求$\vec a•（{\vec a-\vec b}）$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用向量共线的坐标表示，可得x的方程，解方程即可；
（2）运用向量的坐标运算和数量积的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围．

解答 解：（1）因为向量$\vec a=（{1，2-x}）$，$\vec b=（{1+x，2}）$，$\vec a∥\vec b$，
所以（2-x）（1+x）=1×2，即为x²-x=0
解得x=0或x=1；
（2）因为$\vec a=（{1，2-x}）$，$\vec b=（{1+x，2}）$，所以$\vec a-\vec b=（{-x，-x}）$，
所以$\vec a•（{\vec a-\vec b}）=-x+（{-x}）（{2-x}）={x^2}-3x={（{x-\frac{3}{2}}）^2}-\frac{9}{4}$，
因为x∈[0，2]，当x=$\frac{3}{2}$时取得最小值-$\frac{9}{4}$，当x=0时，x²-3x=0；当x=2时，x²-3x=-2，
可得最大值为0，
所以$\vec a•（{\vec a-\vec b}）$的取值范围$[{-\frac{9}{4}，0}]$．

点评 本题考查向量共线的坐标表示和向量数量积的坐标表示，同时考查二次函数在闭区间上的最值求法，考查运算能力，属于中档题．