Question

15．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点$P（{-3，\sqrt{3}}）$．
（1）求sin2α-tanα的值；
（2）若函数f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求函数$g（x）-\sqrt{3}f（{\frac{π}{2}-2x}）-2{f^2}（x）$在区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）根据三角函数的新定义求解sinα，tanα，利用二倍角求解sin2α，可得sin2α-tanα的值；
（2）根据f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα，求解f（x），再求解g（x），根据区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上求出内层范围，结合三角函数的性质求解值域．

解答 解：（1）∵角α的终边经过点$P（{-3，\sqrt{3}}）$，
∴$sinα=\frac{1}{2}，cosα=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}，tanα=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）∵f（x）=cos（x-α）cosα-sin（x-α）sinα=cosx，x∈R，
则f（$\frac{π}{2}-2x$）=cos（$\frac{π}{2}-2x$）
∴$g（x）=\sqrt{3}cos（{\frac{π}{2}-2x}）-2{cos^2}x=\sqrt{3}sin2x-1-cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1$
∵$0≤x≤\frac{2π}{3}$，
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{7π}{6}$
∴$-\frac{1}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{6}}）≤1$，
∴$-2≤2sin（{2x-\frac{π}{6}}）-1≤1$
故函数$g（x）=\sqrt{3}f（{\frac{π}{2}-2x}）-2{f^2}（x）$在区间$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的值域是[-2，1]．

点评 本题主要考查三角函数的定义和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．