Question

5．已知函数f（x）=x²+ax+3
（1）当x∈R时，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围；
（2）当x∈R时，g（x）=f（2^x）．
①求g（x）的值域；
②若g（x）≤a有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）f（x）≥2恒成立 即  x²+ax+1≥0恒成立，即△=a²-4≤0，解得a的取值范围；
（2）①令2^x=t∈（0，+∞）得$y=g（x）={t^2}+at+3={（t+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}+3$，进而得到g（x）的值域；
②若g（x）≤a有解，即g（x）_min≤a，进而得到a的取值范围．

解答 （本题满分12分）
解：（1）f（x）≥2恒成立 即  x²+ax+1≥0恒成立，
得△=a²-4≤0于是-2≤a≤2…（4分）
（2）①令2^x=t∈（0，+∞）
得$y=g（x）={t^2}+at+3={（t+\frac{a}{2}）^2}-\frac{a^2}{4}+3$
关于t的二次函数图象为抛物线，开口向上，图象过点（0，3），对称轴$t=-\frac{a}{2}$…（5分）
当$-\frac{a}{2}≤0即a≥0$g（x）＞3
当$-\frac{a}{2}＞0即a＜0$$g{（x）_{min}}=3-\frac{a^2}{4}$
于是  当a≥0时，g（x）∈（3，+∞）
当a＜0时，$g（x）∈[3-\frac{a^2}{4}，+∞）$…（8分）
②g（x）≤a有解，即g（x）_min≤a…（9分）
由①$\left\{\begin{array}{l}a≥0\\ 3＜a\end{array}\right.⇒a＞3$
或$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ 3-\frac{a^2}{4}≤a\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a＜0\\{a^2}+4a-12≥0\end{array}\right.⇒a≤-6$
综上得a∈（-∞，-6]∪（3，+∞）为所求…（12分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．