Question

19．下列命题：
①等轴双曲线的渐近线是y=±x；
②在△ABC中，“若A=B，则sinA=sinB“的逆命题为真命题；
③若动点P到两定点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为椭圆；
④数列{a_n}满足a_n²=a_n-1a_n+1（n≥2，n∈N），则{a_n}为等比数列；
⑤在△ABC中，若c=2bcosA，则△ABC是等边三角形．
其中正确命题的序号是②⑤（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析 ①，标准方程的等轴双曲线的渐近线是y=±x；
②，在△ABC中，“若sinA=sinB⇒2RsinA=2RsinB⇒a=b⇒A=B；
③，若动点P到两定点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段F₁F₂；
④，当数列为a_n=a_n-1=a_n+1=0时，“{a_n}不为等比数列；
⑤，由c=2bcosA，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBcosA，得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，即A=B

解答 解：对于①，标准方程的等轴双曲线的渐近线是y=±x，故错；
对于②，在△ABC中，“若sinA=sinB⇒2RsinA=2RsinB⇒a=b⇒A=B，故正确；
对于③，若动点P到两定点F₁（-4，0），F₂（4，0）的距离之和为8，则动点P的轨迹为线段F₁F₂，故错；
对于④，当数列为a_n=a_n-1=a_n+1=0时，尽管满足“a_n²=a_n-1•a_n+1”，但“{a_n}不为等比数列，故错；
对于⑤，由c=2bcosA，利用正弦定理化简得：sinC=2sinBcosA，把sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB代入得：sinAcosB+cosAsinB=2sinBcosA，
即sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）=0，即A-B=0，∴A=B，即a=b，则△ABC为等腰三角形，故正确；
故答案为：②⑤

点评 本题考查了命题真假的判定，属于基础题．