Question

已知f（x）=log

1

2

1-sinx

1+sinx

（1）求出它的定义域和值域；
（2）判断它的奇偶性、周期性和单调性．

Answer 1

分析：（1）根据对数的真数大于0，解关于x的不等式得-1＜sinx＜1，从而得到函数f（x）的定义域；再由对数函数的值域结合真数

1-sinx

1+sinx

的取值范围，即可得到函数f（x）的值域；
（2）根据对数的运算法则和正弦函数奇偶性，利用函数奇偶性定义可得f（x）是奇函数；利用正弦函数的周期，可得f（x）是周期为2π的周期函数；最后用分离常数的方法，结合复合函数单调性判别法则可得函数f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵

1-sinx

1+sinx

＞0，∴（sinx-1）（sinx+1）＜0，可得-1＜sinx＜1
∴函数f（x）的定义域为{x|x∈R且x≠

π

2

+kπ，k∈Z}
∵t=

1-sinx

1+sinx

＞0，y=log

1

2

t∈R
∴f（x）=log

1

2

1-sinx

1+sinx

的值域为R；
（2）∵f(-x)=log

1

2

1-sin(-x)

1+sin(-x)

=log

1

2

1+sinx

1-sinx

而-f(x)=-log

1

2

1-sinx

1+sinx

=log

1

2

(

1-sinx

1+sinx

)-1=log

1

2

1+sinx

1-sinx

∴f（-x）=-f（x），可得f（x）是其定义域上的奇函数；
∵f(x+2π)=log

1

2

1-sin(x+2π)

1+sin(x+2π)

=log

1

2

1-sinx

1+sinx

=f（x）
∴f（x）是周期为2π的周期函数；
∵t=

1-sinx

1+sinx

=-1+

2

1+sinx

，t随着sinx的增大而减小，且

1

2

∈（0，1）
∴f(x)=log

1

2

1-sinx

1+sinx

随着sinx的增大而增大
由此可得在函数f（x）的定义域内，sinx的增区间就是f（x）的增区间，sinx的减区间就是f（x）的减区间．
因此，函数f(x)=log

1

2

1-sinx

1+sinx

的增区间为（-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ），减区间为（

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ），其中k∈Z．

点评：本题给出含有sinx的分式作为真数的对数型函数，求函数的单调性、奇偶性和周期等问题．着重考查了基本初等函数的常见性质、复合函数的单调性法则等知识，属于中档题．