Question

已知f（x）是定义域为R上的奇函数，且当x＞0时有f（x）=log 

1

10

x．
（1）求f（x）的解析式；  
（2）解不等式f（x）≤2．

Answer 1

分析：（1）（x）是定义域为R上的奇函数，且当x＞0时有f（x）=log 

1

10

x．由x＜0时，-x＞0，知f（-x）=log

1

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(-x)，故f（x）=-f（-x）=-log

1

10

(-x)，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）≤2，知

x＞0 log 1 10 x≤2

，或

x＜0 -log 1 10 (-x)≤2

，由此能求出f（x）≤2的解集．

解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R上的奇函数，且当x＞0时有f（x）=log 

1

10

x．
x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=log

1

10

(-x)，
∴f（x）=-f（-x）=-log

1

10

(-x)，
又∵f（0）=-f（0），∴f（0）=0，
综上所述f（x）=

log 1 10 x，x＞0 0，x=0 -log 1 10 (-x)，x＜0

．
（2）∵f（x）≤2，
∴

x＞0 log 1 10 x≤2

，或

x＜0 -log 1 10 (-x)≤2

，
解得x≥

1

100

，或-100≤x＜0，
又∵f（0）=0＜2，
∴f（x）≤2的解集是[-100，0]∪[

1

100

，+∞）．

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查不等式的解法，解题时要认真审题，仔细解答，注意函数的奇偶性和不等式性质的合理运用．