Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣（a2+1）x+alnx．
（Ⅰ）若函数f（x）在[ ， e]上单调递减，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a时，求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值．（注意：ln2＜0.7）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）∵f（x）在[，e]上单调递减，∴f′（x）=ax﹣（a2+1）+≤0在[，e]上恒成立，
即ax+≤a2+1，
①当a≤0时，结论成立，
②当a＞0时，不等式等价为x+≤a+在[，e]上恒成立，
当x＞0时，h（x）=x+在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴要使函数h（x）＜h（a）在[，e]上恒成立，
则0＜x≤或x≥e，
综上a≤或a≥e．
（Ⅱ）f′（x）=ax﹣（a2+1）+=
由f′（x）=0得x=a或，
①当0＜a≤时，即f′（x）≤0时，f（x）在[1，2]上递减，
∴f（x）min=f（2）=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
②当＜a≤时，
当1≤x＜时，f′（x）＜0，当＜x≤2，f′（x）＞0，
∴f（x）min=f（）=﹣a﹣﹣alna，
f（2）﹣f（1）=a﹣（a2+1）+aln2，
设h（x）=x﹣（x2+1）+xln2，＜x≤，
h′（x）=﹣2x+ln2，
∵＜x≤，
∴h′（x）＞0，
则h（x）在＜x≤上单调递增，
∴h（x）max=×﹣[（）2+1]+ln2=+ln2＜0，
∴f（2）＜f（1），∴f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
综上当0＜a≤时，f（x）min=2a﹣2（a2+1）+aln2，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1），
当＜a≤时，f（x）min=﹣a﹣﹣alna，f（x）max=f（1）=a﹣（a2+1）．
【解析】（Ⅰ）若函数f（x）在[ ， e]上单调递减，等价为f′（x）≤0在[ ， e]上恒成立，利用参数分离法进行求最值恒成立即可，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a时，求函数的导数f′（x），研究函数的单调性与最值之间的关系即可求f（x）在[1，2]上的最大值和最小值。
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．