Question

【题目】已知函数f（x）=lnx，g（x）=ex ， 其中e是白然对数的底数，e=2.71828…
（I）若函数φ（x）=f（x）﹣求函数φ（x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数f（x）的图象上一点A（x0 ， f（x0）处的切线，证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0 ， 使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）φ（x）=f（x）﹣=lnx﹣，φ′（x）=+，
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）；
（Ⅱ）证明：∵f′（x）=，∴f′（x0）=，
∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），
即y=x+lnx0﹣1，①
设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1 ， ），
∵g'（x）=ex ， ∴=，∴x1=﹣lnx0 ．
∴直线l也为y﹣=（x+lnx0），
即y=x++，②
由①②得lnx0﹣1=+，
∴lnx0=．
下证：在区间（1，+∞）上x0存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=lnx﹣在区间（1，+∞）上递增．
又φ（e）=lne﹣=＜0，φ（e2）=lne2﹣=＞0，
结合零点存在性定理，说明方程φ（x）=0必在区间（e，e2）上有唯一的根，
这个根就是所求的唯一x0 ．
故结论成立．
【解析】（Ⅰ）求导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数φ （x）的单调区间；
（Ⅱ）先求直线l为函数的图象上一点A（x0 ， f （x0））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1 ， ），进而可得lnx0= ， 再证明在区间（1，+∞）上x0存在且唯一即可。