Question

【题目】如图，点F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是椭圆C： （a＞b＞0）的左右焦点，经过F1做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2垂线交直线 于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 得
∴P
∵点Q的坐标是（4，4），PF2⊥QF2
∴
∵
∴a=2，c=1，b=
∴椭圆C的方程为 ；
（Ⅱ）证明：设Q ，∵PF2⊥QF2
∴
∴y2=2a
∴
∵P ，∴
∵ ，∴
∴y′=
∴当x=﹣c时，y′= =
∴直线PQ与椭圆C只有一个交点
【解析】（Ⅰ）将点P（﹣c，y1）（y1＞0）代入 ，可求得P ，根据点Q的坐标是（4，4），PF1⊥QF2 ， 即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）利用PF1⊥QF2 ， 求得 ，从而可求 ，又 ，求导函数，可得x=﹣c时，y′= = ，故可知直线PQ与椭圆C只有一个交点．