Question

【题目】如图，已知在长方体中，，点为上的一个动点，平面与棱交于点，给出下列命题：

①四棱锥的体积为；

②存在唯一的点，使截面四边形的周长取得最小值；

③当点不与，重合时，在棱上均存在点，使得平面

④存在唯一一点，使得平面，且

其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据，再根据等体积转化，求出和，得到答案；②判断出截面四边形为平行四边形，将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，得到最小为内的长度，从而得到截面四边形的周长的最小值；③取为中点时，在平面中，延长，交于，可得；④以点建立空间直角坐标系，根据线面垂直，得到点坐标，并求出.

长方体中，

命题①，

易知平面

到平面的距离，等于到平面的距离，为，

同理到平面的距离，等于到平面的距离，为

所以

，故正确.

命题②，易知平面平面，

平面平面，平面平面

所以，同理，

即四边形为平行四边形

将正方体侧面展开，面和面在同一平面内，

可得在内，最小为的长度，

此时点为与的交点，

所以四边形的周长取得最小值，故正确.

命题③，取为中点时，易知为中点

在平面中，延长，交于，

通过，得到，

所以，

即此时平面，

而此时点在延长线上，不在棱上，故错误.

命题④，以点建立空间直角坐标系，设点

，，

所以，即，

要使平面，

则需，即

所以，得，即，故正确.

故答案为：①②④