【题目】已知抛物线
，
为其焦点，
为其准线，过任作一条直线交抛物线于
两点，
、
分别为
、
在上的射影，
为
的中点，给出下列命题：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
与
的交点的
轴上；（5）
与
交于原点.
其中真命题的序号为_________.
【答案】（1）（2）（3）（4）（5）
【解析】
（1）由
、
在抛物线上，根据抛物线的定义可知
，
，从而有相等的角，由此可判断
；
（2）取
的中点
，利用中位线即抛物线的定义可得
，从而可得
；
（3）由（2）知，
平分
，从而可得
，根据，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
（4）取
与
轴的交点
，可得
，可得出
的中点在轴上，从而得出结论；
（5）设直线的方程为
，设点
、
，证明出
、
、三点共线，同理得出、、
三点共线，由此可得出结论.
（1）由于、在抛物线上，且、分别为、在准线
上的射影，
根据抛物线的定义可知，，则
，
，
，
，则
，
即
，
，则
，即，（1）正确；
（2）取的中点，则，
，即，
（2）正确；
（3）由（2）知，
，
，
，
，
，
平分，
，由于
，
，（3）正确；
（4）取与轴的交点，则
，
轴，可知
，
，即点
为的中点，由（3）知，平分，
过点，
所以，与的交点的轴上，（4）正确；
（5）设直线的方程为，设点、，则点
、
，
将直线的方程与抛物线的方程联立，消去
得，
，
由韦达定理得
，
，
直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
，
则、、三点共线，同理得出、、三点共线，
所以，
与
交于原点，（5）正确.
综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）.
故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.
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【题目】已知椭圆
的焦点和上顶点分别为
，定义：
为椭圆
的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点
是椭圆
的一个焦点，且
上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
（1）若椭圆
与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.
（2）已知点
是椭圆上的任意一点，若点
是直线
与抛物线
异于原点的交点，证明：点一定在双曲线
上.
（3）已知直线
，与椭圆相似且短半轴长为
的椭圆为
，是否存在正方形
，（设其面积为
），使得
在直线
上，
在曲线上？若存在，求出函数
的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.
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【题目】如图，已知在长方体
中，
，点
为
上的一个动点，平面
与棱
交于点
，给出下列命题：
①四棱锥
的体积为
；
②存在唯一的点，使截面四边形
的周长取得最小值
；
③当点不与
，
重合时，在棱
上均存在点
，使得
平面
④存在唯一一点，使得
平面，且
其中正确的命题是_____________（填写所有正确的序号）
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【题目】在平面直角坐标系xOy中，点
满足方程
.
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）作曲线C关于
轴对称的曲线，记为
，在曲线C上任取一点
，过点P作曲线C的切线l，若切线l与曲线交于A，B两点，过点A，B分别作曲线的切线
，
，且，的交点为Q，试问以Q为直角的
是否存在，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
（
为参数），将曲线
上所有点横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到曲线
，过点
且倾斜角为
的直线
与曲线交于
、
两点．
（1）求曲线的参数方程和的取值范围；
（2）求
中点
的轨迹的参数方程．
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【题目】已知圆
，圆
，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）设不经过点
的直线l与曲线C相交于A，B两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l过定点.
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【题目】棋盘上标有第
、
、
、
、
站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到调到第
站或第站时，游戏结束.设棋子位于第
站的概率为
.
（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币
次后，求棋手所走步数之和
的分布列与数学期望；
（2）证明：
；
（3）求
、
的值.
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