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    【题目】已知椭圆的焦点和上顶点分别为，定义：为椭圆的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点是椭圆的一个焦点，且上任意一点到它的两焦点的距离之和为4

    （1）若椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，求椭圆的方程.

    （2）已知点是椭圆上的任意一点，若点是直线与抛物线异于原点的交点，证明：点一定在双曲线上.

    （3）已知直线，与椭圆相似且短半轴长为的椭圆为，是否存在正方形，（设其面积为），使得在直线上，在曲线上？若存在，求出函数的解析式及定义域；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）；（2）详见解析；（3）

    【解析】

    （1）先计算椭圆：，根据相似比得到椭圆的方程.

    （2）点是椭圆上的一点，则，设，计算

    得到证明.

    （3）根据题意：只需上存在两点关于对称即可，利用韦达定理计算，得到答案.

    （1）根据题意知，椭圆：，，椭圆：

    椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2：1，则

    椭圆的方程为：

    （2）点是椭圆上的一点，则，

    设

    故

    所以点一定在双曲线上

    （3）：根据题意：只需上存在两点关于对称即可

    设，设的中点为

    由韦达定理知：

    在直线上，则故

    此时正方形的边长为

    故

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    （4）一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.

    其中正确命题的个数是（ ）

    A.1个B.2个C.3个D.4个

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