【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
,
,以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
,交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成的角的大小;
(3)求点到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
.
【解析】
(1)由题设得知,再证明
平面
,可得出
,然后利用直线与平面垂直的判定定理可得出
平面
;
(2)先利用等体积法计算出点到平面
的距离
,然后利用
作为直线
与平面
所成的角的正弦值,即可得出直线
与平面
所成的角的大小;
(3)先根据条件分析出所求距离为点到平面
距离的
,可得出点
到平面
的距离为
,再利用第二问的结论即可得出答案.
(1)以
为直径的球面交
于点
,则
,
平面
,
平面
,
,
四边形
为矩形,
.
,
平面
,
平面
,
.
,
平面
;
(2)由(1)知,平面
,
平面
,
,
又,则
为
的中点,且
,
.
的面积为
.
的面积为
,
为
的中点,所以,
,
设点到平面
的距离为
,由
,得
,
.
设直线与平面
所成角的大小为
,则
.
因此,直线与平面
所成角的大小为
;
(3)平面
,
平面
,
,
,
,
,且
,则
,
得,
,
故点到平面
的距离是点
到平面
的距离的
.
又是
的中点,则
、
到平面
的距离相等,
由(2)可知所求距离为.
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【题目】已知椭圆的焦点和上顶点分别为
,定义:
为椭圆
的“特征三角形”,如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比,已知点
是椭圆
的一个焦点,且
上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
(1)若椭圆与椭圆
相似,且
与
的相似比为2:1,求椭圆
的方程.
(2)已知点是椭圆
上的任意一点,若点
是直线
与抛物线
异于原点的交点,证明:点
一定在双曲线
上.
(3)已知直线,与椭圆
相似且短半轴长为
的椭圆为
,是否存在正方形
,(设其面积为
),使得
在直线
上,
在曲线
上?若存在,求出函数
的解析式及定义域;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数(
为自然对数的底数).
(1)求的单调区间;
(2)是否存在正实数使得
,若存在求出
,否则说明理由;
(3)若存在不等实数,
,使得
,证明:
.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
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【题目】小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为p,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率
;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率
,他发现
,只做一道更容易及格.
(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为
,求
及
;
(2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
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【题目】在直角坐标系中,椭圆
的方程为
,左右焦点分别为
,
,
为短轴的一个端点,且
的面积为
.设过原点的直线
与椭圆
交于
两点,
为椭圆
上异于
的一点,且直线
,
的斜率都存在,
.
(1)求的值;
(2)设为椭圆
上位于
轴上方的一点,且
轴,
、
为曲线
上不同于
的两点,且
,设直线
与
轴交于点
,求
的取值范围.
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【题目】已知,
.
(1)当时,求函数
图象在
处的切线方程;
(2)若对任意,不等式
恒成立,求
的取值范围;
(3)若存在极大值和极小值,且极大值小于极小值,求
的取值范围.
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