【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
【答案】
【解析】试题分析:(Ⅰ)连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E-ACD的体积
试题解析:(1)证明:连接BD交AC于点O,连接EO.
因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.
又E为PD的中点,所以EO∥PB.
因为EO平面AEC,PB平面AEC,
所以PB∥平面AEC.
(2)因为PA⊥平面ABCD,ABCD为矩形,
所以AB,AD,AP两两垂直.
如图,以A为坐标原点, ,AD,AP的方向为x轴y轴z轴的正方向,|
|为单位长,建立空间直角坐标系Axyz,则D
,E
,
=
.
设B(m,0,0)(m>0),则C(m, ,0),
=(m,
,0).
设n1=(x,y,z)为平面ACE的法向量,
则即
可取n1=.
又n2=(1,0,0)为平面DAE的法向量,
由题设易知|cos〈n1,n2〉|=,即
=
,解得m=
.
因为E为PD的中点,所以三棱锥EACD的高为.三棱锥EACD的体积V=
×
×
×
×
=
.
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【题目】已知点,(
为正整数)都在函数
的图象上.
(1)若数列是等差数列,证明:数列
是等比数列;
(2)设,过点
的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为
,试求最小的实数
,使
对一切正整数
恒成立;
(3)对(2)中的数列,对每个正整数
,在
与
之间插入
个3,得到一个新的数列
,设
是数列
的前
项和,试探究2016是否是数列
中的某一项,写出你探究得到的结论并给出证明.
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【题目】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()
A. B.
C.
D.
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【题目】在四棱锥中,底面
是矩形,
平面
,
,
,以
的中点
为球心、
为直径的球面交
于点
,交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成的角的大小;
(3)求点到平面
的距离.
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【题目】非空有限集合是由若干个正实数组成,集合
的元素个数
.对于任意
,数
或
中至少有一个属于
,称集合
是“好集”:否则,称集合
是“坏集”.
(1)判断和
是“好集”,还是“坏集”;
(2)题设的有限集合中,既有大于1的元素,又有小于1的元素,证明:集合
是“坏集”.
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【题目】已知:椭圆的焦点在
轴上,左焦点
与短轴两顶点围成面积为
的等腰直角三角形,直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】有一种大型商品,、
两地都有出售,且价格相同,现
地的居民从
、
两地之一购得商品后回运的运费是:
地每公里的运费是
地运费的
倍,已知
、
两地相距
,居民选择
或
地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.
(1)求地的居民选择
地或
地购物总费用相等时,点
所在曲线的形状;
(2)指出上述曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
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【题目】袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球,其中有4个编号为1,2, 3, 4的红球,2个编号为A、B的黑球,现从中任取2个小球.;
(1)求所取2个小球都是红球的概率;
(2)求所取的2个小球颜色不相同的概率.
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