【题目】已知:椭圆的焦点在
轴上,左焦点
与短轴两顶点围成面积为
的等腰直角三角形,直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)存在定点
,理由见解析.
【解析】
(1)设椭圆的标准方程为
,焦距为
,根据题意得出
,可求出
、
、
的值,由此可得出椭圆
的标准方程;
(2)求出点、
的坐标,得出直线
的斜率,结合
可求出直线
的斜率,进而得出直线
的方程,并将直线
的方程代入椭圆
的方程,求出点
的坐标,由此可计算出直线
的方程;
(3)由对称性知,定点在
轴上,并设点
的坐标为
,设直线
的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与椭圆
的方程联立,列出韦达定理,由直线
、
的斜率互为相反数,结合韦达定理求出
的值,即可得出定点
的坐标.
(1)设椭圆的标准方程为
,焦距为
,
由于左焦点与短轴两顶点围成面积为
的等腰直角三角形,则
为短轴长的一半,
则,且有
,得
,
,
因此,椭圆的标准方程为
;
(2)由题意、
,则直线
的斜率为
.
,
直线
的斜率为
,
则直线的方程为
.
代入椭圆的标准方程
,得
,解得
或
.
代入,得
(舍)或
,
.
则直线的斜率为
,
因此,直线的方程为
,即
;
(3)由对称性知,定点在
轴上,并设点
的坐标为
,
设直线的方程为
,设点
、
,
将直线的方程与椭圆
的方程联立
,得
.
由韦达定理得,
.
直线的斜率为
,同理直线
的斜率为
,
,
,
即,即
,
解得,因此,直线
过定点
.
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【题目】已知等差数列{an}中,前m(m为奇数)项的和为77,其中偶数项之和为33,且a1-am=18,则数列{an}的通项公式为an= ______ .
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【题目】已知椭圆的焦点和上顶点分别为
,定义:
为椭圆
的“特征三角形”,如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,那么称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比,已知点
是椭圆
的一个焦点,且
上任意一点到它的两焦点的距离之和为4
(1)若椭圆与椭圆
相似,且
与
的相似比为2:1,求椭圆
的方程.
(2)已知点是椭圆
上的任意一点,若点
是直线
与抛物线
异于原点的交点,证明:点
一定在双曲线
上.
(3)已知直线,与椭圆
相似且短半轴长为
的椭圆为
,是否存在正方形
,(设其面积为
),使得
在直线
上,
在曲线
上?若存在,求出函数
的解析式及定义域;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
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【题目】小威初三参加某高中学校的数学自主招生考试,这次考试由十道选择题组成,得分要求是:做对一道题得1分,做错一道题扣去1分,不做得0分,总得分7分就算及格,小威的目标是至少得7分获得及格,在这次考试中,小威确定他做的前六题全对,记6分,而他做余下的四道题中,每道题做对的概率均为p,考试中,小威思量:从余下的四道题中再做一题并且及格的概率
;从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率
,他发现
,只做一道更容易及格.
(1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为,从余下的四道题中全做并且及格的概率为
,求
及
;
(2)由于p的大小影响,请你帮小威讨论:小威从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大?
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【题目】已知平面上两点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲型直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是( )
①; ②y=2; ③
; ④
.
A.①③ B. ③④ C.②③ D.①②
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【题目】在直角坐标系中,椭圆
的方程为
,左右焦点分别为
,
,
为短轴的一个端点,且
的面积为
.设过原点的直线
与椭圆
交于
两点,
为椭圆
上异于
的一点,且直线
,
的斜率都存在,
.
(1)求的值;
(2)设为椭圆
上位于
轴上方的一点,且
轴,
、
为曲线
上不同于
的两点,且
,设直线
与
轴交于点
,求
的取值范围.
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【题目】已知抛物线过点
,过点
作直线
与抛物线
交于不同两点
、
,过
作
轴的垂线分别与直线
、
交于点
、
,其中
为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)写出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(3)求证:为线段
的中点.
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