【题目】已知抛物线过点
,过点
作直线
与抛物线
交于不同两点
、
,过
作
轴的垂线分别与直线
、
交于点
、
,其中
为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)写出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(3)求证:为线段
的中点.
【答案】(1);(2)焦点坐标为
,准线方程为
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)将点的坐标代入抛物线
的方程,求出
的值,可求出抛物线
的标准方程;
(2)根据(1)中的结果可写出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(3)设直线的方程为
,设点
、
,将直线
的方程与抛物线
的方程联立,并列出韦达定理,求出点
、
的坐标,然后结合韦达定理证明出点
、
的纵坐标之和为点
纵坐标的两倍,即可证明出点
为线段
的中点.
(1)将点的坐标代入抛物线
的方程得
,解得
,
因此,抛物线的标准方程为
;
(2)由(1)知,抛物线的焦点坐标为
,准线方程为
;
(3)设直线的方程为
,设点
、
,
将直线的方程与抛物线
的方程联立
,消去
得
,
由韦达定理得,
.
直线的方程为
,联立
,得点
,
直线的方程为
,联立
,得点
,
点的坐标为
,
,则
,
因此,为线段
的中点.
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【题目】已知:椭圆的焦点在
轴上,左焦点
与短轴两顶点围成面积为
的等腰直角三角形,直线
与椭圆
交于不同两点
、
(
、
都在
轴上方),且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当为椭圆与
轴正半轴的交点时,求直线
的方程;
(3)对于动直线,是否存在一个定点,无论
如何变化,直线
总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】下列有关平面向量分解定理的四个命题:
(1)一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基;
(2)一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基;
(3)平面向量的基向量可能互相垂直;
(4)一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.
其中正确命题的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】袋中装有除颜色外形状大小完全相同的6个小球,其中有4个编号为1,2, 3, 4的红球,2个编号为A、B的黑球,现从中任取2个小球.;
(1)求所取2个小球都是红球的概率;
(2)求所取的2个小球颜色不相同的概率.
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【题目】关于曲线的下列说法:(1)关于点
对称;(2)关于直线
轴对称;(3)关于直线
对称;(4)是封闭图形,面积小于
;(5)是封闭图形,面积大于
;(6)不是封闭图形,无面积可言.其中正确的序号是________.
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【题目】已知函数f(x)=(kx+)ex﹣2x,若f(x)<0的解集中有且只有一个正整数,则实数k的取值范围为 ( )
A. [ ,
)B. (
,
]
C. [)D. [
)
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【题目】已知数列和
满足:
,且
成等比数列,
成等差数列.
(1)行列式,且
,求证:数列
是等差数列;
(2)在(1)的条件下,若不是常数列,
是等比数列,
①求和
的通项公式;
②设是正整数,若存在正整数
,使得
成等差数列,求
的最小值.
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【题目】下列命题中,正确的序号是_____
①直线上有两个点到平面的距离相等,则这条直线和这个平面平行;
②过球面上任意两点的大圆有且只有一个;
③直四棱柱是直平行六面体;
④为异面直线,则过
且与
平行的平面有且仅有一个;
⑤两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.
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