【题目】已知数列和
满足:
,且
成等比数列,
成等差数列.
(1)行列式,且
,求证:数列
是等差数列;
(2)在(1)的条件下,若不是常数列,
是等比数列,
①求和
的通项公式;
②设是正整数,若存在正整数
,使得
成等差数列,求
的最小值.
【答案】(1)见解析;(2)①,
;②6
【解析】
(1)根据行列式的代数余子式可得,再根据等差中项可证;
(2)①设等差数列的公差为,等比数列的公比为
,运用等差数列和等比数列的性质和通项公式,解方程组即可得到所求通项;
②由等差数列的中项性质和分类讨论,即可得到最小值.
证明:因为,
所以,
,
因为,所以
,即
,
所以数列是等差数列.
①由(1)知数列是等差数列,设公差为
(
),设等比数列
的公比为
,
因为成等比数列,
成等差数列,
所以且
,
所以,且
,
结合化简可得
且
,
解得,
所以,
,
故,
.
②因为成等差数列,
所以,即
,
由于,且
均为正整数,
所以,
,所以
,
可得,即
,
当时,
,
,所以不等式
不成立,
当或
时,
成立,
当时,
,即
时,则有
,
所以的最小值为6,当且仅当
且
或
时,
取得最小值6.
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【题目】已知抛物线过点
,过点
作直线
与抛物线
交于不同两点
、
,过
作
轴的垂线分别与直线
、
交于点
、
,其中
为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)写出抛物线的焦点坐标和准线方程;
(3)求证:为线段
的中点.
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【题目】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆的左.右焦点分别为
,
为坐标原点.
(1)若斜率为的直线
交椭圆
于点
,若线段
的中点为
,直线
的斜率为
,求
的值;
(2)已知点是椭圆
上异于椭圆顶点的一点,延长直线
,
分别与椭圆交于点
,设直线
的斜率为
,直线
的斜率为
,求证:
为定值.
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【题目】已知函数,
.
(1)若在区间
上不是单调函数,求实数
的范围;
(2)若对任意,都有
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,设
,对任意给定的正实数
,曲线
上是否存在两点
,
,使得
是以
(
为坐标原点)为直角顶点的直角三角形,而且此三角形斜边中点在
轴上?请说明理由.
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